Binário Opção Finito Diferença

Opção de venda binária Vega opção de venda binária vega mede a mudança no preço de uma opção devido a uma mudança na volatilidade implícita e é o gradiente da inclinação do perfil de preço de opção de venda binária versus volatilidade implícita. Esta página fornece a opção de venda binária vega fórmula, derivação da fórmula de primeiros princípios, além de ilustra a opção de venda binária vega em relação ao tempo de expiração e volatilidade implícita. A vega tem uma importância crucial na condução de gerenciamento de risco de carteira de opções binárias ou quando simplesmente tomar uma única posição especulativa. Para o mercado de opções que está conduzindo o gerenciamento dinâmico de risco de carteira, o vega é, na verdade, o que o mercado delta neutro está negociando, constantemente comprando e vendendo vol e protegendo os deltas através da negociação do subjacente. Assim, para o mercado-maker, saber que vega é o mesmo que um comerciante de futuros sabendo quantos contratos de futuros são longshort. O trader que usa opções binárias para ter visões direcionais precisa entender o efeito de vega uma vez que uma compra de puts binário pode muito bem ser complementada com uma queda no subjacente, mas uma mudança na volatilidade implícita poderia afetar negativamente o valor da opção de venda binária após o movimento. Opção de Venda Binária Vega e Vega Finita A vega V de qualquer opção é definida por: P preço da opção volatilidade implícita P a alteração no valor de P a alteração no valor da Opção de Venda Binária Vega w. r.t. Volatilidade A Figura 1 mostra os perfis de preços binários de opção de venda sobre diferentes volatilidades implícitas. A Figura 2 mostra como, com sete preços subjacentes estáticos, as opções de put binárias mudam de valor à medida que a volatilidade implícita aumenta de 1,0 para 45,0, então, na verdade, um perfil da Figura 2 é uma seção transversal vertical desse preço subjacente na Figura 1. O que também Pode ser reconhecido é que a legenda é invertida a partir da mesma ilustração em opção binária vega opção. Isso porque em 99.75 no exemplo de opção de chamada a opção é out-of-the-money, enquanto que com a opção de opção de venda aqui, a opção é in-the-money. Quando o preço subjacente é 100,00 a opção está no dinheiro e as alterações na volatilidade implícita não tem qualquer efeito sobre o preço da opção binária como é sempre 50. O perfil de 18,0 da Figura 1 é o mais alto dos perfis quando out - Of-the-money (onde Sgt100.00), mas o mais baixo dos perfis quando a opção de venda binária é in-the-money (Slt100.00). O que isto sugere é que à medida que a volatilidade implícita sobe a opção aumenta em valor quando fora do dinheiro (vega positivo) e diminui em valor quando em-o-dinheiro (vega negativo). Fig.1 Opção de venda binária Perfis de preço w. r.t. Volatilidade implícita A Figura 2 mostra como as opções de put binárias mudam de valor para um preço subjacente específico onde a volatilidade implícita é mostrada no eixo horizontal. O gradiente de um perfil individual para uma determinada volatilidade implícita fornecerá o vega para essa opção binária de venda. É evidente que abaixo do Valor Justo de 50, ou seja, quando as opções estão fora do dinheiro, o valor da opção aumenta à medida que a volatilidade implícita sobe ao longo do eixo inferior, significando perfis positivamente inclinados e, portanto, vegas positivo. Ao mesmo tempo acima do preço justo de 50 as opções estão caindo em valor à medida que a volatilidade implícita sobe, levando a perfis negativamente inclinados e vegas negativo. Como a volatilidade implícita continua a subir para 45,0 todos os perfis de concertina em torno de 50 e aplainar levando a vega muito baixo em volatilidades implícitas muito elevadas. Fig. 2 Opções de venda binária Perfis de preço com preços fixos subjacentes A vega (como representada pela fórmula acima Eq (1) mede o gradiente das inclinações na Figura 2. Opção de Put Binário Vega eo Método de Diferença Finita A Figura 3 é o S99. 75 perfil de preço que vai de 4,0 volatilidade implícita para 16,0 volatilidade implícita, é uma seção do perfil de 99,75 da Fig. 2. Os acordes foram adicionados centrada em torno de 10,0 volatilidade implícita de modo que, por exemplo, o acorde 6.0 se estende de 7,0 vol para 13,0 O gradiente do acorde é definido por: Gradiente (P2 P1) (2 1) P2 Binário Valor de entrada em 2 P1 Binário Coloque o valor em 1 ie Gradiente (57.5634 63.5047) (13 7) 0.9902 como indicado na coluna 6 da coluna central da Tabela 1. Fig. 3 Inclinação do Vega a 99,75 mais aproximação de acordes de Vega Os gradientes do acorde de 10,0 e 2,0 Acorde são calculados em t Da mesma forma e também são apresentados na coluna central da Tabela 1. Tabela 1 - De Gradiente de Chord para Put Vega Como a diferença entre as volatilidades implícitas estreita o gradiente tende para o vega de 0,9056 a 10,0 volatilidade implícita, ou seja, onde t 0,0. O vega é, portanto, o primeiro diferencial do valor justo de put binário em relação à volatilidade implícita e pode ser declarado matematicamente como: como 0, V dP d o que significa que quando cai para zero o gradiente se aproxima da tangente (vega) do perfil de preços Da Figura 2 com uma volatilidade implícita de 10,0. Opção de colocação binária Vega w. r.t. Volatilidade implícita A Figura 1 ilustra 4 dias para expirar binário colocar perfis com a Figura 4 fornecendo as vegas associadas para as mesmas volatilidades implícitas. Independentemente da volatilidade implícita a vega quando o dinheiro é sempre zero. Quando out-of-the-money a opção de venda binária vega é sempre positiva (como com out-of-the-money convencional opções de venda), mas quando in-the-money o binário colocar opção vega é negativo (ao contrário no - Dinheiro convencional put opções). Fig.4 Opção de Venda Binária Vega w. r.t. Volatilidade implícita Como a volatilidade implícita cai de 18,0 (onde os valores absolutos da vega são os mais baixos dos perfis) os picos e depressões das vegas aumentam absolutamente enquanto os picos e depressões também se aproximam da greve. Opção de colocação binária Vega w. r.t. Tempo para Expiração Figuras 5 amp 6 fornecem os binários put opções preço perfis ao longo do tempo para expirar com o associado binário put opção vega. A vega máxima absoluta na Figura 6 é bastante estável em torno de 2,43, independentemente do tempo até à expiração, embora o tempo até a expiração determine o quão perto da batida o pico e calha em vega é. Fig.5 Opção de venda binária Perfis de preço w. r.t. Tempo de expiração Fig.6 Opção de venda binária Vega w. r.t. Tempo de expiração Independentemente do tempo para expirar a opção de venda binária vega viaja através de zero para a razão agora familiar que binários no preço são de 50, ou muito próximo a ele. Os pontos de destaque são: 1) Considerando que as vegas de opção de venda convencionais são sempre positivas, uma vez que um aumento na volatilidade implícita sempre aumenta o valor da opção, o efeito de um aumento na volatilidade implícita com opções binárias de venda pode ser positivo ou negativo, Estão dentro ou fora do dinheiro. 2) Considerando que com opções de venda convencionais vega é sempre em seu absoluto mais alto quando no-o-dinheiro, o binário colocar opção vega quando no-o-dinheiro é sempre zero. 3) Out-of-the-money opções de venda binária têm vega positivo ou zero, in-the-money binário put opções têm zero ou negativo vega. Binary Opção de Chamada Delta Delta opção binária mede a mudança no preço de uma chamada binária , Devido a uma alteração no preço do activo subjacente e é o gradiente da inclinação do perfil do preço de opções binário em relação ao preço subjacente do activo (o 8216 subjacente). De todos os gregos, a opção de chamada binária delta poderia provavelmente ser considerada a mais útil na medida em que também pode ser interpretada como a posição equivalente no subjacente, ou seja, o delta traduz opções, sejam opções individuais ou um portfólio de opções, em um equivalente Posição do subjacente. Uma opção de chamada binária com um delta de 0,5 significa que se o preço de ação subjacente sobe 1, então a chamada binária aumentará em valor por. Outra interpretação seria uma posição curta de 400 contratos em chamadas binárias SampP500 com um delta de 0,25 que seria equivalente a ser curto 100 futuros SampP500. É importante perceber que o delta está mudando dinamicamente como uma função de muitas variáveis, incluindo uma mudança no preço subjacente, e que uma mudança em qualquer uma dessas variáveis ​​provavelmente causará uma mudança no delta. Portanto, se alguma ou todas as variáveis, incluindo o preço subjacente, o tempo de expiração e a volatilidade implícita, mudarem, então a opção acima não terá necessariamente um delta de 0,5 e aumento de valor ou a posição SampP equivalente será curta 100 futuros SampP500 . Esta praticidade e simplicidade de conceito contribui para deltas, fora de todos os gregos, sendo o mais utilizado entre os comerciantes, especialmente os criadores de mercado. O seguinte fornece uma análise de: o método de diferença finita para avaliar deltas, exemplos de utilização do delta para hedge, comparação de opções de chamada convencionais delta com opção de chamada binária delta e, finalmente, uma fórmula de forma fechada para a opção de chamada binária delta. Opção de Opção Binária Delta e Delta Finita O delta de qualquer opção é definido por: P preço da opção S preço do subjacente P uma mudança no valor de PS uma alteração no valor de S A Figura 1 mostra o perfil de preço de 1 dia de Uma chamada binária com a Figura 2 mostrando (em preto) o mesmo perfil de preços entre os preços subjacentes de 99,78 e 99,99. Fig.1 8211 Opções de Compra Binária Perfil de Preço Fig.2 8211 Valor Justo amp Delta Gradientes A corda azul 18 tickes viaja entre o ponto no perfil de chamada 9 ticks abaixo do preço de 99,90 a 9 ticks acima. O valor justo da opção de compra binária em 99.81 é 3.4592 e em 99.99 é 46.1739, conforme indicado na linha inferior da Tabela 1. O gradiente desse acorde é definido por: P 2 Valor de chamada binária em S 2 P 1 Valor de chamada binário em S 1 SInc Variação Mínima do Preço do Activo Subjacente, isto é, Gradiente (46.1739-3.4592) (99.99-99.81) x 0.01 como indicado na fila inferior da coluna central da Tabela 1. Os gradientes da corda de 12 tick e da corda de 6 tick são calculados em Da mesma forma e também são apresentados na coluna central da Tabela 1. Tabela 1 - De Gradiente de Chord para Call Delta De Gradiente de Chord para Call Delta À medida que a diferença de preço se estreita, isto é, como S 0 (como refletido por S 0,06 e S 0,03) o gradiente tende para o delta de 2,4149 a 99,90. A opção de compra binária delta é, portanto, o primeiro diferencial do valor justo da opção de compra binária em relação ao subjacente e pode ser declarada matematicamente como: S 0, dP dS o que significa que quando S cai para zero o gradiente do perfil de preços se aproxima do Gradiente da tangente (delta) ao preço do ativo subjacente. Opção de Chamada Binária Delta e Volatilidade Implícita A Figura 3 ilustra os perfis de chamadas binárias de 5 dias com a Figura 4 fornecendo os deltas associados sobre uma gama de volatilidades implícitas como nas legendas. Na Figura 3, o perfil de valor justo é bastante raso em comparação com os outros quatro perfis, que é refletido na Figura 4, onde o perfil 9 delta flutua apenas 0,16 de um delta de 0,22 nas asas para 0,38 quando no dinheiro e é O mais plano dos cinco perfis delta. Na Figura 3, com a volatilidade em 1 e subjacente abaixo de 100, há pouca chance de a chamada binária ser uma aposta vencedora até que o subjacente se aproxima da greve, onde o perfil de preços aumenta abruptamente para viajar até 0,5 antes de nivelar para fora de curto O preço de chamada binária de 100. Fig.3 8211 Opção de Compra Binária Fair Value wrt Volatilidade O delta 1 na Figura 4 reflete essa mudança dramática do preço da chamada binária com o perfil delta 1 mostrando delta zero seguido por um delta de acentuada elevação como o preço do chamado binário muda drasticamente ao longo de uma pequena mudança no subjacente, seguido por um delta acentuadamente decrescente Como a opção de chamada binária delta reverte para zero como a chamada binária níveis fora ao preço mais elevado. Para a mesma volatilidade o delta da chamada binária que é de 50 ticks in-the-money é o mesmo que o delta do binário call 50 ticks out-of-the-money. Em outras palavras, os deltas são horizontalmente simétricos em relação ao subjacente quando no dinheiro, isto é, quando o subjacente está em 100. Fig.4 Opção de Chamada Binária 8211 Delta w. r.t. Volatilidade implícita Esta característica da opção de chamada binária delta quando no dinheiro é a da função Dirac delta, ou função, onde a área abaixo do perfil é 1. Isso significa que a opção de chamada binária delta quando no dinheiro e com O tempo de expiração ou volatilidade implícita aproximando zero pode se tornar infinitamente alta com uma área total de um sob o pico. Esta característica, obviamente torna delta neutro hedging como impraticável quando a opção de compra binária é no dinheiro com muito pouco tempo para expiração ou extremamente baixa volatilidade implícita. Na prática, essas condições e uma posição de chamada binária de curto prazo na Apple Inc exigiria que o comerciante delta neutro lance para a empresa, a fim de obter plano Opção de chamada binária Delta e tempo de expiração na ilustração acima (Fig. 4) o delta 1,00 picos fora da escala em 3,41, mas este valor aumenta acentuadamente como o tempo de expiração diminui de 5 dias. As figuras 3 amp 5 ilustram perfis de preços de chamadas binárias que sempre têm uma inclinação positiva, de modo que as opções de chamada binária delta são sempre positivas. Fig.5 8211 Opção de Compra Binária Fair Value w. r.t. Tempo até à expiração O perfil de preço de 25 dias na Figura 5 tem o maior tempo para expirar e, subseqüentemente, tem a engrenagem mais baixa ilustrada na Figura 6 pelo perfil delta de menor valor. Fig.6 Opção de Chamada Binária 8211 Delta w. r.t. Prazo até a expiração As opções de chamada binária (e put) de curto prazo proporcionam a maior engrenagem de qualquer instrumento financeiro, como ilustrado pelo perfil de preços extremamente elevado da Figura 5 e seu delta associado na Figura 6. Os picos do delta de 0,1 dias em 4,82 que Basicamente oferece gearing de 482 em comparação com a engrenagem 100 de uma posição futura longa. Diminuir a volatilidade e diminuir o tempo de expiração têm um impacto semelhante sobre o preço de uma opção binária que é corroborada pelos perfis semelhantes delta das Figuras 4 amp 6. A Tabela 2 mostra 10 dias, 5 preços de opção binária de opção de volatilidade com deltas. Tabela 2 - Valor justo da Opção de Compra Binária com Delta associado A 99.87 a chamada binária vale 43.5921 e tem um delta de 0.4764. Portanto, se o subjacente sobe três carrapatos de 99.87 para 99.90 a chamada binária aumentará em valor para: 43.5921 3 x 0.4764 45.0213 Se o subjacente caiu 3 carrapatos de 99.93 para 99.90 a chamada binária seria vale: 46.4641 (-3) x 0.4805 45.0226 A 99.90 o valor de chamada binária na Tabela 2 é 45.0250 assim há uma ligeira discrepância entre os valores calculados acima eo valor verdadeiro na tabela. Isso ocorre porque os deltas de 0,4764 e 0,4805 são os deltas para apenas os dois níveis subjacentes de 99,87 e 99,93 respectivamente, ou seja, os deltas mudam com o subjacente. Em 99,90, o delta é 0,4788, portanto o valor de 0,4764 é muito baixo quando se avalia o movimento ascendente de 99,87 para 99,90, enquanto que o delta de 0,4805 é muito alto quando se avalia a variação no preço de chamada binária quando o subjacente cai de 99,93 para 99,90. A média dos dois deltas em 99,87 e 99,90 é: (0,4764 0,4788) 2 0,4772 e se este número fosse usado no primeiro cálculo acima, então a chamada binária em 99,90 seria estimada como: 43,5921 3 x 0,4772 45,0237 um erro de 0,0013. O delta médio entre 99.90 e 99.93 é: (0.4788 0.4805) 2 0.47965 O segundo cálculo acima geraria agora um preço em 99.90 de: 46.4641 (-3) x 0.47965 45.02515 um erro de apenas 0.00015. A seção sobre a opção de chamada binária gamma fornecerá as respostas a respeito de por que essa discrepância ainda existe. Hedging com Opção de Chamada Binária Delta Se os números na Tabela 2 relacionam-se a um futuro de ligação, então pode não ser razoável oferecer uma opção binária nesse futuro com um valor de liquidação de 1000 igual a 10 por ponto. Exemplo. Um trader de opções binárias compra 100 contratos do binário de 100 buracos com 10 dias para expirar com a futura negociação em 99,87 a um preço de 43,5921, custando um total de: 43,5921 x 10 x 100 contratos 43,592.10 Como o comerciante evita o imediato direcional Exposição 100 contratos da opção com delta de 0.4764 equivale a uma posição de 47.64 futuros a preço de futuros de 99.87 assim que o comerciante vende 48 futuros para hedge (apenas não possível vender 0.64 de um futuro. O preço de opção de 43.5921 foi chegado a Pela média em) 1) o futuro cai para 99.81 onde a opção vale 40.7518 assim que a posição PampL é agora: A opção de opção binária perde: 40.7518 43.5921 -2.8403 o que equivale a uma perda de: -2.8403 x 10 x 100 contratos -2.840.3 que Equivale a um lucro de: -0,060.01 x 10 x -48 2.880 um lucro global de 39.70 2) o futuro sobe para 99.93 onde a opção vale 46.4641 assim que a posição PampL é agora: Binary Call Opções ganhos: 46.4641 43.5921 2.8720 que Equivale a um profi T de: 2,8720 x 10 x 100 contratos 2 872,00 o que equivale a uma perda de: 0,060,01 x 10 x -48 -2,880 uma perda global de 8,00. Esta perda no lado positivo pode ser explicada pelo over-hedging de 48 futuros em oposição a 47,64 futuros. Se 47,64 futuros foram usados ​​(um spreadbet talvez), em seguida, o lucro downside global seria reduzido para 18,10, enquanto a perda de upside de 8,00 se transformaria em um lucro de 13,60. O uso constante de deltas para hedging desta forma é vital para um mercado de opções. Que usando uma cobertura de 47,64 produz um lucro em ambos os lados de cima e de baixo é o impacto da gama, neste caso gamma positivo. Opção de chamada binária Delta v Opção de chamada convencional Delta As figuras 7a-e ilustram a diferença ao longo do tempo entre os deltas de opção de chamada binária e seus primos convencionais para aqueles já familiarizados com convencionais. Fig.7a 8211 Amplificador binário de 25 dias Chamada convencional Delta Fig.7b 8211 Amplificador binário de 10 dias Opção de chamada convencional Delta Fig.7c 8211 Amplificador binário de 4 dias Opção de chamada convencional Delta Fig.7d 8211 Amplificador binário de 1 dia Opção de chamada convencional Delta Fig.7e 8211 Amplificador binário de 0,1 dia Opção de chamada convencional Delta Os pontos de observação são: 1) Considerando que os deltas de chamada convencionais são limitados a um valor de 0,5 quando a opção está no dinheiro, a chamada binária está no seu máximo quando 2) Quando o tempo de expiração for maior que 1 dia (Figs.7a-c), a engrenagem da opção de chamada binária é menor do que o valor de Convencional, mas quando o tempo de expiração é reduzido (Figs.7d-e), o delta da chamada binária torna-se maior do que o valor máximo de 1,0 da opção de chamada convencional. 3) O perfil delta de opção de chamada convencional lembra o preço da chamada binária. 4) Substituir uma gama de volatilidades implícitas em vez dos tempos de expiração forneceria um conjunto semelhante de ilustrações para Figs.7a-e. Opção de preços usando método de diferenças finitas - Matlab Durante o curso Quantitative amp Financeiro Computacional dentro do departamento de matemática da UCL. Foi-nos pedido que fizessem o preço de 4 tipos de opção, opção de compra europeia, opção de venda europeia e opções binárias utilizando o método das diferenças finitas. Este post descreve a equação de Black-Scholes e suas condições de contorno, o método de diferença finita e finalmente o código e a ordem de precisão. Para o código matlab neste post eu usei o pincel java, portanto, os comentários precisarão ser alterados de para. Eu sei que você iria perguntar, por que eu não usei um pincel Matlab em primeiro lugar, bem, eu estou usando o SyntaxHighlighter e olhando para este comentário Nota do autor: a longa lista de funções (1300) pode fazer o navegador não responder quando você usa este escova. me deixe de fora. I Black-Scholes equação Onde Smbox, sigmaVolatility, rmbox, Vmbox Esta é uma equação parabólica linear equação diferencial parcial. Em termos de gregos. A equação de Black-Scholes pode ser escrita da seguinte forma: Theta - frac sigma2 S2 Gamma - r S Delta r V Conidões finais da borda da amostragem A condição final é as condições dos limites de retribuição em S0 e na Sinfty European Call Opção Black-Scholes fechada da solução A forma fechada Para a equação de Black-Scholes para uma opção de Call Europeu é C (S, T) Esquadrão N (d1) - Equad e quad N (d2) e N é a função de distribuição cumulativa de um padrão normal. Usando a equação de paridade Call-Put CALL-PUT S - e N (-d2) também podemos ritear a fórmula de put P (S, T) - Squad N (-d1) Equad e quad N (-d2) , Também chamado de dinheiro ou nada os valores Call e Put: Método de Diferença Finita Método de Diferença Finita é um método numérico para aproximar as soluções para equações diferenciais usando a equação de diferenças finitas para aproximar a derivada. A grelha de diferenças finitas tem geralmente o mesmo passo de tempo, o tempo entre nós é igual a S passos. O passo do tempo é delta t eo passo do ativo é delta S. Assim, a grade é composta de pontos nos Valores de ativos Sidelta S e tempos t T-k delta t onde 0leq ileq l e 0leq kleq K. I delta S é a nossa aproximação do infinito, neste exercício vamos usar Sinfty 2 cdot Strike Assim, podemos escrever o valor da opção em cada um desses pontos da grade como VV (idelta S, T-kdelta t) De modo que o superíndice é o tempo Variável eo subescrito é a variável de ativo. Agora vamos usar a notação de Black-Scholes Grego para aproximar theta, gama e delta. Aproximando Theta Segue que podemos aproximar a derivada de tempo de nossa grade de valores usando a diferença de tempo para trás: frac (S, t) (Delta t) Esta é a aproximação das opções theta. Ele usa o valor da opção em dois pontos da grade V (k, i) e V (k1, i). Esta aproximação é uma ordem exata em delta t e veremos mais tarde que mais tarde nos exemplos. Delta Aproximada A mesma idéia pode ser usada para aproximar a primeira ordem na derivada S, o delta. A partir de uma expansão da série de Taylor do valor da opção sobre o ponto Sdelta S, t temos V (Sdelta S, t) V (S, t) delta S frac (S, t) Delta S3) Similarmente, V (S-delta S, t) V (S, t) - delta S frac (S, t) delta S2 frac (S, t) - O (delta S3) Subtraindo do outro, (S, t) frac - VO (delta S2) Gama Aproximada A gama de uma opção é a segunda derivada da opção em relação ao subjacente, A aproximação natural é frac aproximadamente frac-2V VO Delta S2) Esta aproximação é também uma segunda ordem precisa em delta S como a aproximação do Delta e irá mostrar isso também mais tarde. O Método de Diferenças Finitas Explícitas Cálculo dos Griegos usando a diferença para trás Agora nós conectamos nossa aproximação de Greeks anterior na equação de Black-Scholes frac - V frac sigma2 (i2delta S2) frac - VV idelta S frac - V - r V 0 A equação de diferenças finitas é válida em toda parte dentro do intervalo de tempo. A equação de diferenças finitas é válida em qualquer lugar dentro do intervalo de tempo. Que não é válida nos limites. Portanto, precisamos definir os limites dependendo do tipo de opção que estamos avaliando. Final amp Condições de contorno Para uma Opção de Chamada Europeia em t T (expiração) i I Pagamento V (S, t) max (SE, 0) Assim Vmax (i delta SE, 0) onde 0leq i leq l A probabilidade de S falling V é a condição de limite superior V (alfa-gamma) V (beta 2gamma) V (beta 2gamma) Finalmente para os critérios de estabilidade vamos escolher delta t leq frac. III Código e Resultados Aqui está a implementação matlab do método de diferenças finitas. Usamos os mesmos parâmetros fixos, isto é, volatilidade 0,2, Taxa de Juros 0,05, Preço de Exercício 100, preço atual é o valor descontado do preço de exercício S100 e. Para cada tipo de opção, variamos o intervalo de tempo eo preço do ativo para mostrar que o método é de primeira ordem e de segunda ordem precisos em delta t e delta S por sua vez. Nós também defnie o alfa, beta e gama externa para clareza. O código da função alfa O código da função beta O código da função Gamma Também definimos os resultados para a solução de formulário fechado para uma opção de chamada e de colocação europeia e, da mesma forma, para as opções binárias. Solução de forma fechada para a opção de compra europeia Solução de forma fechada para a opção de venda europeia Solução de forma fechada para uma opção de compra europeia (Cash-or-nothing) Solução de forma fechada para uma opção de venda europeia (Cash-or-nothing) Aqui definimos o valor da opção Para uma chamada europeia e opção de venda com condição de pagamento máxima max (SE, 0) e louca (ES, 0). Notamos que o código é semelhante apenas a função de recompensa pode ser revertida dependendo do tipo de opção, ou seja, chamada ou um put. Opção Valor Função Função de valor de opção binária Na figura abaixo apresentamos os valores das opções de chamada pelo método explícito de diferenças finitas. No que se segue, mostraremos que os métodos de diferença finita são de primeira ordem e de segunda ordem precisos em delta t e delta S, por sua vez, traçando o erro contra delta t e delta S2 em ambos os gráficos esperamos ter um gráfico linear. Valores de opção de chamada europeia Erro vs. Delta t Valores da opção de chamada europeia Erro vs. Delta S2 Europeu Valores opção de opção Erro Vs. Delta t European Put Opção valores erro Vs. Delta S2 Traçando o erro em porcentagem contra o delta t e delta S2 para a chamada europeia e put opção para ambos os payoff função contínua e binária, vemos claramente que o erro é linear em delta t e delta S2. Quanto menores forem os passos em delta t e delta S2, o preciso é o método de diferença finita, mas isso vem com um tempo de computação dispendioso. Paul Wilmott Introduz Quantitative Finance, Second Edition, de Paul P. Wilmott